代数数论笔记（二）：二次域和圆域上迹、范和判别式的计算 最新资讯
本节作为上一节的补充 在这系列笔记里，最重要的两个例子是二次域(quadraticfield)（这里无非平凡平方因子
2023-04-12
【资料图】
本节作为上一节的补充.
在这系列笔记里，最重要的两个例子是二次域(quadratic field)（这里无非平凡平方因子）以及圆域(cyclomatic field)（这里是次单位根，是奇素数）.在这一系列笔记中，我们会不断地将新的理论用在这两个例子上.这两个例子有一个共同的优点，就是他们都是Galois的，这给我们的讨论带来很大方便.
先来看前者.的所有嵌入（取决于打到还是）刚好构成Galois群.如果，则的所有嵌入均是实的；如果，则的所有嵌入均是虚的.对里面的一个元素,其所有共轭元素为，因此.判别式.进一步的一个例子是的情形，此时与通常的复数的模长是一致的.在下一节我们将看到这一点的威力.
的极小多项式是，其所有根是，是的次扩张.因而的所有嵌入构成Galois群，且这个群是循环的：.所有个嵌入均是虚的，两两成对.
下面以计算作为结束：利用.下面记.的极小多项式记为.对两边求导得到.代入 得即即.因此我们要计算.由于是个同态，我们只要分别计算,,.
.,.注意一个常见的技巧：，代入.得到.因此.最终得到
